이 부분에서 제가 시간을 끌고 있는 이유는 하나입니다.
이 부분을 정확히 한다는 것은 그 이전의 모든 단계를 이해한다는 의미임과 동시에 그 이후의 단계 즉 '함수'의 단계를 매우 쉽게 갈 수 있다는 의미이기 때문에 그렇습니다. 방정식에서 verbal statement와 symbolic statement를 자유롭게 왔다 갔다 할 수 있는 능력이 갖는 의미는 이토록 큽니다.

그런데 사람들은, 여기에서 매우 희한한 착각들을 합니다. 그냥 수식을 풀듯이 방정식을 풀어서 답만 맞으면 된다...라는 생각입니다.
이렇게 생각하면 안 되는 이유가 바로 그 방정식 이전의 부분에 대한 잘못된 상식을 바로 잡는 마지막 기회가 바로 방정식 부분이기 때문에 그렇습니다. 여기에서 조차 그 오류를 바로 잡지 못하면 함수에 들어가서는 이것을 바로 잡을 기회가 아예 없기 때문에 더욱 그렇습니다.

'함수'란 '산수'가 아닌 진정한 '수학'으로서 '산수'적 생각으로 함수를 이해해서는 끊임없이 헷갈릴 뿐 약간 문제만 바꾸어 놓아도 또 헷갈릴 수 밖에 없게 되지요..

33강에서는 진도를 더 나가는 것이 아니라 여러분의 방정식에 대한 개념을 확실히 하기 위해서 32강의 문제에 대해 답을 다신 분들의 답을 보고 이를 평하해 보면서 어떻게 verbal statement를 하는 것이 정확하게 방정식을 이해하고 그 이전의 문제까지 바로 잡으며 앞으로의 함수 부분에서 쉽게 '수학'을 이해할 수 있는가 하는 측면을 배워 봅니다.



강의를 시작하기 전에 노파심에 한 마디 합니다...
제발 지금까지 여러분이 수학을 풀었던 방법을 모두 버리십시요. 입이 닳도록 이야기 했고 교육시간에 수도 없이 강조하고 설명했지만, 답을 올리신 분들은 그나마 열심히 하시는 분들인데도 젝 가장 강조하고 가장 신경써서 강의하는 부분들을 모두 놓치고 있습니다.

안타깝지만, 저는 계속 여러분의 마음을 열기위해 노력할 테니 여러분도 제발 문제를 풀어서 답을 맞추려고 하지 마시고, '방정식'을 이해하기 위해 노력하시기 바랍니다.

방정식의 풀이 과정에서 단 하나의 중간 과정도 모두 어떤 property 나 axiom없이는 진행되지 않는다 는 것도 절대로 잊지 마시기 바랍니다.

먼저 박철우 원장님의 1번 문제의 풀이를 봅시다...
1번문제
4(2/3+x)-5=7-3 Combine like terms on the right side, 7-3=4
여기에서 부터 틀려나갑니다. 왜냐구요? PEMDAS는 어디에 잊으셨나요? left side에 parentheses는 놓아 두고 right side부터 풀어 버리면 어떻게 하나요? 모두들 이렇게 '답'을 맞추는데만 집중하고 있을 뿐 왜 그런 답이 나오는지는 간과하고 있습니다.

4(2/3+x)-5=4 Each term in the parentheses on the left side is multiplied by 4,
어디가 잘못 되었나요? left side는 두 개의 terms로 되어 있습니다. 바로 4(2/3+x)와 (-5)이지요 만일 이 verbal interpretation이 맞다면 symbolic statement는 4x4(2/3 + x) - 4x5가 되어야 합니다.
어떻게 해서 좌변의 모든 항에 4가 곱해졌다고 생각하나요?

Apply the distributive property by multiplying (2/3+x)
by its coefficient 4, to remove parentheses.
순서가 잘못 되었네요.

8/3 + 4x - 5 = 4 Multiply both sides by the denominator 3 to clear the fraction.
여기에서는 like terms들 부터 모아야 하지요? 그래서 letter term과 number term으로 symplify한 다음 하나는 left side에 하나는 right side에 먼저 둔 다음 다른 것들은 마지막 절차로 해야 합니다. isolating terms과정이 있어야 된다는 말입니다.

8 + 12x - 15 = 12 Combine like terms on the left side, 8 - 15 = -7.
12x - 7 = 12 -7 and 12 are like terms on the opposite sides of the equal sign.
Add 7, the opposite of -7, to both sides by using the addition axiom. 여기는 잘 했습니다.


12x-7+7=12+7 12x = 19 Divide both sides by the coefficient of x, which is 12.
왜 이렇게 할 수 있는지 수학적 정의가 없네요... 바로 multiplication axiom으로 그렇게 할 수 있지요?

x= 19 / 12 So, I can get the solution of this equation. 휴......So difficult....
답이 improper fraction이네요.
그러면 이것이 답이 되어서는 안 되지요 mixed number로 바꾸어서 1+7/12가 되어야 하겠지요?

자 그 다음은 시골 촌장님의 답을 봅시다.

4(2/3 +x) - 5 = 7 - 3
Subtracting 5 from each term in the parentheses multiplied by 4 equals subtracting 3 from 7.
이 interpretation을 한글로 해석하면, 4로 곱해진 괄호 안의 각각의 항으로 부터 5를 빼면 7-3과 같아진다. 의 의미가 됩니다.
즉 좌변이 무엇인지 아직 설명이 안 되어진 것입니다. 좌면에 여러개의 항이 있는데 그 항 중에는 4의 배수인 항들이 있다. 그 항에서 각각 5를 빼면 좌변의 값은 4가 된다... 라는 뜻이라는 말이지요... 어딘가 매우 이상합니다.

According to PEMDAS, solve the parentheses using the distributive property.
solve the parentheses는 remove the parentheses로 바꾸어야 하겠지만 알아들을 만한 실수이니까 큰 문제는 아닙니다.
8/3 + 4x - 5 = 7 - 3
sort terms and combine like terms. Letter terms isolated on left.
여기서도 문장의 일관성을 유지하기 위해 두번 째 문장을 isolate the letter term and place it on the left side. (4x 하나이니까 단수로) 로 바꾸면 더 좋습니다.

4x = 7-3+5-8/3
4x = 9-8/3 9/1 = 27/3 are equivalent fractions
4x = (27-8)/3
여기까지의 과정은 한국에서의 문제풀이식으로 푸셨군요.
각각에 필요한 과정을 axiom과 property를 이용해서 진행해 나가야지요.

4x = 19/3 divide both sides by the coefficient of the letter term, 4x, because 4 is the multiplication axiom.
4를 곱하는 것이 multiplication axiom에 의한 것이지, 4 자체가 multiplication axiom은 아닙니다. 거기다가 왜 multiplication axiom을 여기에 apply해야 하는지 그 이유가 없군요.

4x/4 = 19/3*1/4
Then I got the answer of this question. x= 19/12
역시 improper fraction에서 답이 멈추었습니다. mixed number로 바꾸시길...

참 여기서 숙제하나 냅니다. 왜 mixed number로 바꾸어야 할까요?

마지막으로 Davideb 선생님의 풀이를 봅니다.
For the first question, four open parentheses two over three plus X close parentheses minus equals seven minus three.
이런 표현은 verbal statement가 아닙니다. symbolic statement자체입니다. 따라서 verbal interpretation자체를 처음부터 하지 않은 것이 됩니다.

그 다음 풀이도 읽어 보니 거의 전부가 verbal interpretation을 포기하셨습니다.
이것은 그냥 답을 맞추기 위한 '산수적'풀이에 불과합니다.
그래서 각 문장에 대한 comment는 생략합니다.

I want to express like this about it. (1) first, we have to think PEMDAS as you know. Owing to this, we remove those parentheses like that the minend, two over three plus X is multiplied by the number four. Put the result 8/3 plus 4X on the front[left] the subtrahend, five. In this part, we must arrange the similar terms because there are constant terms and unknown term in it. Then, we took the result 4x-7/3. (2)Second, we also arrange the right side. Namely, we must subtract three from seven. so, we got the difference 4. (3)Third, we must rearrange the left and right sides, 4x-7/3=4. Then, we will take the result 4x=4+7/3 (for the mathmatics properties like addition property and subraction property). 4x=19/3(for having the largest common divisor, 3 which is the common denominator of the numbers, 4 and 7/3). (4)Finally, we must multiply 1/4 on each side because we remove 4, the coefficient of X. In sum, we will get the expression, 4x*1/4=19/3*1/4 (though we multiply the same numbers on the both sides, we will gain the same value). In sum, we got the answer about the question number one. That is 19/12.


'방정식'의 verbal statement의 중요성을 다시 한 번 강조합니다. 여기에서 죽더라도 제대로 하고 넘어가시기 바랍니다. 제 말이 이해가 안 가면 이해가 갈 때 까지 도전하시기 바랍니다.

모두들 수고 하셨습니다. 그러나 올바른 실력이 달성될 때까지

모두 verbal interpretation을 향해 돌진!!!!!

더 이상 문제를 풀어서 답을 맞추는 기계가 아닌, '수식'이란 수학나라말을 '인간의 언어'로 해석하고 이해할 수 있을 때까지 돌진!!!

Ernest