equation 에서 verbal statement와 symbolic statement 사이를 마음 놓고 왔다 갔다 해야 하는 이유는 이제 잘 아시겠지만 바로 이것이 수학이라는 위대한 언어와 인문학적 언어사이의 해석문제이기 때문에 그렇습니다.

Equation이전의 verbal statement들은 매우 간단하고 쉬웠습니다. 여리게 unknown number가 하나 들어가서 문장이 어렵게 되는 것이지요… 여러분이 ‘방정식’에서 이 verbal한 측면과 symbolic 한 측면을 마음 놓고 왔다갔다 하게 되면 스스로 알게 되겠지만 나중에 ‘함수’에 들어가서 매우 유용한 생각의 논리를 중간에 흐트러트리지 않고 이어나갈 수 있는 능력을 갖게 됩니다.

한국사람들이 죽어라고 문제만 풀어서, 바로 이 verbal한 측면을 symbolic한 측면으로 해석하지를 못합니다. 우리가 영어와 한국어를 일대일 대응시켜서 공부를 하면 “오늘이 무슨 날이지?”라는 말을 “What day is it today?(오늘이 무슨 요일이지?)”로 바꾸게 되어서, 죽을 때 까지 영어를 하지 못하게 되는 것과 아주 흡사하게, 여러분이 문제만 풀면, 인문학적 언어를 수학적 언어로 바꾸는데 일대일 대응을 하게 됩니다.

그래서 약간만 문제를 꼬아 놓으면, 머리만 아프고 계속해서 틀리고 틀리기를 반복하게 됩니다. 그러니 여러분은 모두, 정신차려서 어떠한 경우의 인문학적 언어라도 수학적 언어로 해석하는데, 착오가 없도록 실력을 키우시기 바랍니다. 이 실력만 되면, 여러분이 스스로 놀라운 경험을 하게 됩니다. 이상하게 수학문제들이 너무나 쉽게 다가오게 됩니다.

자! 이제 ‘방정식’의 처음으로 돌아가서, 다시 다른 측면들을 보아가며 시작해 봅시다.

이제 equation이란 놈은 좀 알겠는데 그렇다면 linear equation이란 무엇인가?
Linear라는 말은 사실 함수에서 나오는 말인데 ‘방정식’에서 원용한 것입니다. Linear는 line의 형용사입니다. 즉 ‘직선’이란 의미이지요.
‘직선’이란 의미는 중간에 다른 변수가 존재하지 않는다는 의미입니다. 그래서 함수의 기하학적 측면에서의 표현 (쉬운 말로 그래프)를 보면 직선으로 나타납니다. 예를 들면;
y = ax + b (while ‘y’ and ‘x’ are variables and ‘a’ and ‘b’ are numerical constants)의 그래프를 2dimensional grid에 표현하면 ‘a’는 slope(기울기)이고 ‘b’는 intercept(절편)라는 것 중학교 때 배워서 다 아시지요? 그래서 이 함수는 y-axis의 ‘b’ 를 지나고 y/x의 비율이 ‘a’인 모양으로 grid의 어느 면에서도 같은 모양으로 직선을 이루며 존재하지요.

이때 이런 그래프의 속성을 지닌 함수를 linear function(1차 함수)라고 합니다.

Equation에서도 이를 원용하여 한국에서 중학교 때 배웠던 1차 방정식을 영어로 linear equation이라고 하게 되었답니다.

그러면 linear equation의 특징은 무엇일까요? 미지수의 표현이 power 자체일 수는 있어도 이것이 2이상의 exponent를 가진 수로 표현될 수 없다. 는 것입니다.

이조건을 잘 이해 못하는 분들을 위해 설명합니다, 예를 들어 미지수를 풀어 보니 그 답이 ‘4’라고 합시다. 그렇다면 그 미지수는 4를 대표하는 하나의 variable 즉, a,b,c 또는 가장 일반적으로 x로 표현될 수는 있어도 2^2 즉 a^2, b^2등으로 표현될 수 없다, 라는 것입니다.

왜냐하면, 예를 들어서
x^2 + 4 = 8 이라는 식을 보면
여기에서 미지수가 x하나라고 해서 linear equation이 아니라는 뜻입니다. 왜냐하면 이 식은 본래;
x^2 + 0x + 4 = 8 인데
여기에서 x의 coefficient가 ‘0’ 이기 때문에 multiplication property에 의해서 0이 되었기 때문에 안 썼을 뿐 사실은 존재하는 ,term이기 때문에 그렇습니다.

여기에서 unknown number 즉 ,variable의 exponent가 1이어야 linear equation이 된다는 사실을 알 수 있습니다. 이걸 한국어로 ‘1차’라고 ‘차’로 번역한 이유는, 우리가 일반적인 숫자의 exponent를 읽을 때
2^2 = two squared (power)
2^3 = two cubed (power)
2^4 = two to the fourth (power)
2^5 = two to the fifth (power)
이렇게 to the ‘n’th라고 읽지요? 뒤에 ‘power’라는 말이 들어가는 것이 원래의 표현이지만 어디에나 예외 없이 들어가는 표현이니 당연한 것이므로 일반적으로 생략해서 읽는답니다.
그런데 그냥 exponent로서 읽을 때는 power이지만 이것이 equation이나 function,에 오면 또 하나의 이름을 갖습니다. 이것이 바로 ‘degree’라는 것입니다.
이걸 ‘차’라고 번역한 겁니다. 그래서 nth degree는 n차 라고 읽게 되었지요.

또 한가지 표현법을 익혀 봅시다.
바로 미지수의 exponent는 1이라서 linear equation이 되었는데, 이때 unknown number가 한 개가 아닌 경우 어떻게 표현할까요?
한국에서는 미지수가 2개인 경우 ‘2원 1차 방정식’ 으로 표현하는데 영어에서는 무엇이라고 하나요?
250페이지 중간쯤에 보니까 A linear equation in one variable(1원 1차 방정식)이라는 표현이 나오는 군요.
그러니까 당연히
A linear equation in two variables가 2원 1차 방정식이 되겠군요?

자! 그러면 이것들을 합쳐서 읽어 보면서 자질구레한 것들을 익혀 봅시다.
3원 1차 방정식 = a linear equation with three variables
2원 2차 방정식 = a quadratic equation with two variables
3차 함수 = a cubed function
다항식 = polynomial

자 이때 또 한 개 공부할 것이 생겼군요. ‘다항식’의 개념이 무엇인가요? 당연히 안다고 생각하지 마시고, 공부하시기 바랍니다.

자! 다항식은 다음 시간에 공부하고 오늘은 여기에서 끝….

숙제를 내도 하고 있다는 소식이 들리지 않으니… 답답 합니다…

다른 것들처럼 수학강의도 이제 관 두어야 할 때가 된 건 아닌지…

지난 번 date와 day의 차이점을 설명하면서… “오늘이 무슨 날이지?”라는 것을 영작하는 숙제를 내 주었더니, 한 분만 답을 다셨더군요.. 그것도 며칠이 지나서..

뭐! 여러분들이 왜 공부를 싫어하고, 오직 인생의 본질과는 아무 상관도 없는 것에만 신경을 쓰고 사는지 이해하려고 노력하지만….

적어도 저와 같은 사람이 여러분 곁에 있을 때, 이 천금 같은 시간을 그냥 흘려보내지 않는 혜안을 가지시길 바랍니다….

Ernest