수학강의 28
equation에 있어서는 강의를 좀 천천히 나갈 것입니다. 이유는 여러분에게 충분한 시간을 주어서 고민하라고 그러는 것입니다. 아무 생각없이 시간을 보내라고 그러는 것이 아니니까, 방정식이란 무엇인가, algebra에서 equation이 차지하는 체계적인 위치가 무엇인가에 대해서 심각하게 생각해야 합니다. 그리고 매일 부딪는 현실을 어떻게 equation expression으로 바꿀 수 있는가에 대해 매일 고민해 보아야 합니다.

사실, equation이 차지하는 algebra에서의 위치는 정 중앙이라고 말 할 수 있습니다.
Equation이전의 모든 것은 equation을 알기 위해 존재하는 overture이며, equation이후의 모든 것은 function입니다.

결국 algebra의 모든 것은 function을 향해 달려가는 하나의 폭주 기관차라고 할 수 있습니다. Function이 그 마지막 종착역이지요.

이때, equation이란 놈은 바로 function이전에 존재하는 모든 algebraic data들을 어떻게 funtioning하도록 하는가 하는 것에 관한 이해의 체계를 지향하는 것들의 총체적 집합체라고 할 수 있습니다.

즉, equation을 이해하지 못하면 ‘함수’를 이해할 수 없는 것입니다.
function이라는 놈은 드디어 단순한 ‘산수’적 수학을 벗어나서, 현실의 모든 문제를 수학으로 표현할 수 있는 방법을 제시하는 것의 총체적 이름..일진대

‘수학’이 이 세상에 존재하는 수 많은 언어 중 하나라는 것입니다.

그러니 ‘함수’가 마지막 종착역이요, 이 함수를 통해 우리는 ‘수학’이라는 진주 같은 언어를 통해 세상을 해석할 수 있게 되는 것이지요.

그런데 처음의 시작은 1,2,3,4…와 같은 단순한 숫자의 사칙연산에서 시작했는데 어떻게 이런 것들로 이 세상의 일들을 모두 표현할 수 있는가? 라는 문제입니다.

바로 이 연결고리를 가지고 있는 것이 equation입니다.

여러분은 이 ‘방정식’이라는 놈을 통해서 이제 1,2,3,4와 같은 ‘산수적’ 숫자를 넘어서 다른 언어로는 표현할 수 없는 대상을 ‘대수적’표현으로 표현하는 방법을 배우게 되는 것이지요.

형식적 특징으로 보면 방정식은 여러분이 교과서에서 배웠듯이 “일정한 값에서 좌우의 양변이 등식으로 성립되는 식”에 불과하지만… 이것은 마치 소수를 “1과 자기 자신이외에는 약수를 가지지 않는 수”라고 표현하는 것과 같은 지극히 형식적인 의미일 뿐입니다.

‘소수’의 진정한 의미가 ‘수의 체계를 이룸에 있어서 없어서는 안 되는 수’가 되는 것과 마찬가지로, ‘방정식’의 진정한 의미는 “산수적 의미에서 탈출하여 세상을 이해하는 하나의 언어로서의 수학으로 발전하기 위한 입문”입니다.

여러분은 이 ‘방정식’이란 것을 통해, ‘언어’로서의 ‘수학’의 기초를 배울 것입니다.
그리하여 결국, ‘함수’를 이해하는 기초를 다지게 될 것이며 결국 ‘함수’를 이해하므로 인해서, 국어, 영어, 이외에 세상과 소통하는 또 하나의 ‘언어’를 가지게 될 것입니다.

그러니, 나태하지 말고, 정신차려서 집중하고, 저의 강의를 따라 오시기 바랍니다.

자! 지난 시간에 나왔던 terms(용어)들을 다시 정리합니다. 모르는 단어가 나오면 반드시 복습하셔서 이를 해결하고 다시 진도를 나가시기 바랍니다.
Number term – constant
Letter term – variable term
Numeral coefficient – coefficient
Number factor
Indicated division / synthetic division
Side
Term
Unknown number

자! 준비 되셨으면 오늘의 강의를 나갑니다.
247페이지를 펴십시오.
Equation에 있어서 제가 가장 강조하는 부분입니다.
Symbolic statements와
Verbal interpretations 가 서로 interchangeable 하게 자유 자재로 왔다갔다 할 수 있게 실력을 꼭 만드시기 바랍니다.

가장 간단한 unknown number를 찾는 verbal statement의 유형을 이 책에서 여러 가지 제시합니다. 예를 들어;

1. 5 + x = 8
What number added to 5 gives 8?
5 plus a number has a result of 8. What is the missing number?

2. x – 7 = 4
When 7 is subtracted a number, the answer is 4.

3. x/5 = 3
a number divided by 5 is 3.

4. 2x + 3 = 15
15 is the result when 3 is added to 2 times a number.

5. 2(x + 3) =14
If the sum of a number and 3 is doubled, the result is 14.

2, 3, 4, 5번 문제는 verbal statement로 읽을 때, 모두 뒤에 What is the missing number? 종류의 질문을 붙여야 하는 것 아시겠지요?

자! 이번에는 반대로 verbal statements 만을 듣고 이를 symbolic statement로 바꾸는 연습을 해 봅시다. 이때 매우 중요한 것은 missing number에 variable을 꼭 사용해야 한다는 점입니다. 일반적으로 이 missing number에 해당하는 표현을 이탤릭체로 쓴 x를 사용합니다.

책에 나와 있는 예를 봅시다.
The sum of 12, 23, and a third number is 52.

이 verbal statement를 symbols로 고치기 위해서는 즉 방정식으로 쓰기 위해서 두 가지 과정을 먼저 거쳐야 합니다.
첫째는 missing number 즉 x로 표현해야 할 unknown number가 어떤 놈인지 찾아내는 과정입니다. 이 문제에서는 세 번째 숫자가 unknown number이며 우리가 찾아내야 할 놈입니다. 그래서,
The third number is missing.이라고 정의해 줍니다.

둘째, 그 다음 이 놈을 어떤 letter로 표현할 것인가를 정합니다. 일단 missing number가 하나인 경우 대부분 x로 표현하니까,

Let x represent the third number.
라고 정의합니다.

자 그러면 그 다음에는 symbolic statement를 정확하게 만들어야 합니다. 우리나라 말로 ‘식’을 세워야 합니다. 그래서
세번째는
Translate the entire statement. 합니다. 이때
Verbal expression에서 sum은 ‘+ (addition sign)’으로 해석합니다.
그리고 ‘is’는 ‘=(equal sign)’ 으로 해석합니다.

그래서 결국,
12 + 23 + x = 52로 표현하면 끝납니다.

여러분 중에서 혹시, 이까짓거 누가 못해? 바보인가? 이걸 못한다면 그건 영어실력이 딸려서 그렇지, 수학을 못해서는 아니잖아! 빨리 빨리 문제나 많이 풀어야지….라고 생각하시는 분이 있다면, 앞날에 희망이 없는 사람입니다. 처음부터 다시 공부해서, 이 과정의 중요성이 가슴으로부터 진하게 다가와야, 진정한 수학공부임을 꼭 주지하시기 바랍니다.

그리고, 오늘 제가 내 주는 숙제를 거짓말 하지 말고, 꼭 모두 하시기 바랍니다.
일단 248페이지에 나와 있는 ,examples들 모두 풀어보시기 바랍니다.
두 번째, 250페이지의 맨 꼭대기에 있는 문제 27번에서 40번까지 모두 풀어보시기 바랍니다.

한 문제도 빼면 안 됩니다.
이게 자유자재로 되지 않으면, 여러분이 함수에 들어갈 실력이 되지 않는다는 것을 꼭 인지하시고, 단순히 말로 바꾸고 식으로 바꾸는 것이 아니고 한 마디 한 마디 할 때 마다 그 의미가 가슴속에서 살아 숨쉬게 하시기 바랍니다. 그 상태로 숙제를 꼭 하시기 바랍니다.

오늘은 이만 합니다..
한 번씩 해 보아서 되었다고 그냥 넘어가지 마시고 계속해서 반복해서 풀어서 완전히 입과 머리에서 내것이 되었다는 느낌이 올 때까지 계속하시기 바랍니다.

Ernest