수학이란 “논리”입니다. 이때 “수학적 논리”란 수를 사용한 논리의 전개가 아니라는 사실을 꼭 기억하시기 바랍니다. “수학적 논리”란 “어떠한 논리 전개에 있어서 인간이 범할 수 있는 오류를 최소화 시킨 방법”을 “수학”이라고 하고 그러한 논리의 전개를 “수학적 논리전개”라고 하는 것입니다.
이때 “논리”라는 것은 무엇일까요? 바로 “말이 되도록 순서를 잡아서 연결하는 것”입니다. 즉
1. 나는 밥을 잔뜩 먹었다.
2. 그래서 배가 부르다.
“밥을 잔뜩 먹었다.”라는 것과 “배가 부르다”라는 두 가지 사실이 있습니다. 이때 이 두가지 사실을 “논리적으로 연결”시키는 방법은 두 가지 입니다.
1. 밥을 잔뜩 먹어서 배가 부르다. (귀납법)
2. 배가 부른 이유는 밥을 잔뜩 먹어서이다. (연역법)
이때 “논리적 연결”이 아닌 그냥 “연결”을 시키면 이런 두 가지 형태의 말이 나몹니다.
1. 나는 밥을 잔뜩 먹었다 그래서 배가 부르다.
2. 나는 배가 부르다 그래서 밥을 잔뜩 먹었다.
이 두 가지 다 “순서적 연결” 임에는 틀림이 없지만 1은 “논리적”이나 2는 “논리적”이지 못합니다.
여기에서 형식적으로 보면 위의 말과 아래의 말이 모두
첫번째 문장은 “밥을 먹다”가 앞에 오고 “배가 부르다”가 뒤에 옵니다.
두번째 문장은 “배가 부르다”가 앞에 오고 “밥을 먹다”가 뒤에 옵니다.
그런데도 윗 부분의 연역법으로 나타낸 두 번째 문장은 말이 되는데 아래 부분의 두 번째 문장은 “논리적”이지 않습니다.
그러니까 결국 말이 “된다,” “안 된다”는 어떤 사실의 “형식적 순서”가 아닌 바로 “내용적 순서”임을 알 수 있습니다. 자, 그러면 이 내용적 순서로 위의 사실의 순서를 정해 봅시다.
“밥을 먹다”와 “배가 부르다”의 내용적 순서는 무엇이 앞에 오는 것일까요?
예 바로 “밥을 먹다”가 앞에 오고 그 다음에 “배가 부르다”가 뒤따라 오는 것입니다.
이때 “밥을 먹다”와 “배가 부르다”가 서로 원인과 결과라는 “논리”적 연관성이 있을 때 이를 “수학”으로 나타낼 수 있습니다.
자 다시 원래의 자리로 돌아가 봅시다.
1, “가다”는 무엇이고 “오다”는 무엇인가?
2, “가다”와 “오다”가 논리적으로 연결되어 있을까?
이제 “논리적으로 연결이 되다”라는 말의 의미를 알겠나요? 이 말의 의미를 다시 구체적으로 정리해 봅시다.
1. “가다”와 “오다”가 서로 동시에 발생하는 사건이 아닌 두 개의 사건이 서로 다르게 발생한다.
2. 이때 이 서로 다른 사건이 하나는 다른 하나의 원인이고 결과가 된다. 즉 연관되어 있다.
라는 의미입니다. 아시겠지요?
그렇다면, 이제 “가다”는 무엇이고 “오다”는 무엇인지 정하는 문제와 “가다”가 먼저인지 “오다”가 먼저인지 정해 봅시다.
“가다”와 “오다”의 개념은 객관적으로 정해지는 것이 아니고 연필의 두 방향 중 어느 한 방향을 “가다” 또는 “오다” 라고 정하면 그 반대 방향을 그 반대의 말로 정해지는 것이다.
이때, “원인”과 “결과”의 두 사건 에서 “원인”을 “가다”라고 표현하자.. 라는 단 하나의 약속만 하는 것입니다. 그래서 “원인”을 무조건 “가다” 즉 “+”로 표현하고 그에 따라 발생하는 사건을 “오다” 즉 “-“로 표현할 수 있는 것이 됩니다.
정리하면 수학에서는 +와 – 중에서 +가 정해지면 –가 존재할 수 있고 –가 먼저 정해지는 일은 없다…. 라는 말입니다. 이때 연필의 어느 쪽을 +라고 할까요? 그건 형식적 판단일 뿐이다. 논리와 아무 관계 없는 것이다. 그러니 어느 쪽이던 관계없이 먼저 정해지는 것이 + 이다 라는 원칙만 세워 놓는 것이지요.
자 여기까지 여러분이 이해를 했다면 그 다음부터는 쉽습니다. 같이 도전해 봅시다.
-3-3 = -6 은 정확한 표현이 아닙니다. 정확한 표현으로 바꾸어 봅시다.
(-3) + (-3) = (-6) 그렇지요? +가 먼저 정해졌고 –는 이에 따라 부수적으로 정해진 것일 뿐이니 당연히 모든 행위는 +로 보는 것이고 –는 그 반대 방향으로 이 행위가 이루어졌다는 것을 나타낼 뿐이군요.
즉 +가 없으면 –는 원초적으로부터 존재 불가능한 것이니.
-3 – 3 = - 6이라는 표현은 표현의 편의성 때문에 존재하는 것일 뿐 실제적으로 저런 것을 존재할 수 없다.. 라는 것입니다. 왜냐구요? 당연히 +가 있어야 –가 있는 것인데 원래부터 +는 없고 모두 –만 있다는게 말이 안 되지요…
그러니 원래 어떤 방향이 먼저 정해져서 그것이 +방향이 되었는데 그 반대 방향으로 3걸음 가고난 후에(-3) 추가로(+) 3걸음 갔다(-3). 그러니 총 – 방향으로 6걸음을 걸은 것이다. 그러니 -6라고 표현한다. 그래서 결국
(-3) + (-3) = (-6)이 되었다.
자 이제 오늘의 진도인 곱셈과 나눗셈으로 갑니다.
덧셈과 뺄셈의 관계처럼 곱셈과 나눗셈의 관계도 마찬가지입니다. 곱셈이 먼저 존재할 수 있을 때 나눗셈이 존재하는 것이지요. 곱하기가 이미 되어있는 물건을 나누기 할 수 있지 곱하기 할 수 없는 물건이면 이미 나누는 것이 불가능하기 때문입니다. 그러니 곱하기와 나누기는 같은 것인데 방향만 서로 다르게 본 것일 뿐입니다.
자 먼저 다음의 수식들의 답을 써 보십시요..
1. (-3cm) x (-3cm) =
2. (-3m) x (+2m) =
3. (+3m) x (-2) =
4 (-4) x (3m) =
답이 다음과 같이 나옵니까?
1. 9cm^2
2. -6m^2
3. -6m
4. -12m
그러면 여러분은 틀린 답을 낸 것입니다. 이상하지 않습니까? 지금까지 당연히 이럴 것이라고 아셨을 텐데요. 위 문제에서 적어도 1번과 2번의 답은 틀렸습니다. 왜 그럴까요?
자 오늘은 너무 많이 하느라고 시간 손해가 이만 저만이 아닙니다. 그러니 이만 하기로 하고 마지막 문제의 답은 각자 고민하셔서
댓글로 달아주시기 바랍니다.
Ernest