오늘도 매우 매우 중요한 것을 할 것입니다. 사실, 더하기 빼기에서 sign을 설명했기 때문에 이건 당연히 여러분이 이해를 했을 것이지만, “독도, 연어알”이야기처럼 덧셈 뺄셈에서의 sign을 아무리 이해해도 곱셈 나눗셈에서의 sign은 또 다른 이야기로 분명히 생각할 것이라는 것을 뭐 안 보아도 이젠 압니다. 그래서 또 역시 매우 중요한 강의가 되겠군요.

자 덧셈과 뺄셈이 정 반대의 셈이 아님을 이젠 아시지요? (잘 모르는 분은 22강을 다시 읽고 오늘 강의를 들으시기 바랍니다.) 즉 덧셈만 있고 뺄셈은 없는 것, 다시 말하면 덧셈이 뺄셈이고 뺄셈이 덧셈인 것 이라는 사실입니다. 이것을 이해하지 못하면 (-) x (-) = (+)를 절대로 이해할 수가 없지요. 이걸 이해하면 (-) x (-) = (+)는 이미 이해한 것이 됩니다. 어떻게 그럴까요?

자, 다시 signs의 vector적 성격에 대해 알아 봅시다.(이렇게 말하니까 벌써부터 겁을 먹는 분들이 있는데 개뿔도 아닌 것이니 겁먹을 필요없습니다.)

자 일차원에서부터 시작해 봅니다. 일차원은 선으로 이루어진 세상입니다.
여러분이 들고있는 볼펜이나 연필을 하나의 선으로 간주하고 저와 함께 실험을 해 봅니다. (수학에서 실험이 필요하다? 당근 필요합니다. 그러니, 그냥 듣지 마시고 저와 함께 실험에 직접 참가하시기 바랍니다.)

그 연필을 아무렇게나 잡으시기 바랍니다. 그리고 그 연필 내의 것만 “존재하는 세상”이라고 생각해 봅니다. 만일 이 연필 외에도 존재하는 세상이 있다고 생각해 버리면 이미 일차원적 세상이 아닙니다. 그러면 이 연필에서 할 수 있는 객관적 행위는 그러 연필 위를 “오고 가는 “행위만 할 수 있습니다. 즉 이때 “온다”와 “간다”의 두 가지 행위만 존재하게 됩니다. 그래서 결국 magnitude 즉 몇 센티 오고 갔느냐 만 따질 수 있습니다.

<자 여기에서 여러분을 잠깐 속여 봅니다. 다음의 말 중에서 어디에서 논리적 오류가 있을까요?>

미리 한 마디 하자면 이때 “몇 센티”는 숫자고 “오다”와 “가다”는 sign입니다. 이때 “오른쪽으로 가다”를 “+” 로 표현하고 “왼쪽으로 오다”를 “–“ 로 표현해 봅시다.


<참고 사항: 여러분이 이 글을 읽으시면서 어디에서 논리적 오류가 있는지 찾아내 볼 사람? “왼쪽”과 “오른쪽”이라는 방향이 있지를 않기 때문에 그렇습니다. 연필을 놓고 어느 방향이 왼쪽이고 어느 방향이 오른쪽인지 따지는 것은 연필을 들고 있는 즉 연필을 객관적으로 연필 “밖”에서 볼 수 있는 사람이 할 수 있는 행위라는 것입니다. 그런데 처음에 전제가 연필 밖의 세상이 아닌 연필 내의 세상이라고 했습니다. 그러니 이런 말이 전혀 논리적이지 않습니다. 그러니 위의 글은

“몇 센티”는 숫자고 “오다”와 “가다”는 sign입니다. 이때 “가다”를 “+” 로 표현하고 “오다”를 “–“ 로 표현해 봅시다. 로 고쳐야 합니다.”
이 세상의 삶이 모두 이러하니, 여러분은 세상에 속지 말고, 속이지도 말고 스스로의 실력을 키우기 위해서만 정진하시기 바랍니다.

잠깐 제가 여러분에게 어떻게 속이더라도 여러분은 다 속을 수 밖에 없다는 사실을 보여드리고자
digressed했습니다.>

<중간 참고 사항: 이런 것을 벡터라고 하는 것입니다. 여러분이 벡터는 “magnitude와 direction을 모두 가지고 있는 것”이라고 배웠는데 이 말이 매우 헷갈리는 것일 것입니다. 이유는 간단합니다. 이때 magnitude란 무엇인가 그리고 direction이란 무엇인가 그리고 “모두 가지고 있다”라는 말의 뜻이 무엇인가? 라는 문제를 모르고 있기 때문입니다. 이걸 모두 안다고 생각해서 어려워지는 것입니다. Magnitude는 1,2,3으로 나타내는 대수입니다. Direction은 삼차원적 움직임을 말합니다. 즉 지금 우리가 연필 위의 실험이 아니라 나중에 연필을 몇 개 A4용지 위헤 올려 놓고 실험을 해 볼 텐데 바로 그 실험이 벡터라고 하는 것을 명확히 하는 실험입니다.>

다시 실험으로 돌아갑니다.
이때 우리는 모든 개념을 명확히 했습니다. 그래서 연필 위의 움직임을 정확히 대수학적으로 설명할 수 있게 되었습니다. 예를 들어
3cm를 가다 = +3cm
2cm를 가다 = -2cm
3cm를 갔다가 2cm를 갔다 = 3cm – 2cm = 1cm

이걸 모르는 사람이 없을 것 같습니다. 그러나 여기에서 가장 중요한 것이 빠져있다는 것을 그 누구도 알지 못하고 있습니다. 이걸 몰라서 수확의 모든 부분이 헷갈리고 이걸 몰라서 (-) x (-) = (+)라는 것을 모르는 것인데, 사람들은 이 겉으로 드러나는 모든 부분을 다 알고 있어서 더 이상 문제될 것이 없다고 생각합니다. 그러나 모든 수학적 지식의 깊이를 진정으로 결정하는 이 중요한 것이 무엇인가요?

바로 그것은, 겉으로 드러나는 문제가 아닌 우리 내면에서 해결해야 할 문제 이름하여
“무엇이 “가는 것”이고 무엇이 “오는 것”이란 말인가?”의 문제인 것입니다.

이렇게 생각하면 발생되는 문제가 두 가지 있습니다. 무엇일까요?
첫째, 어느 쪽으로 가는 것을 “가다”라고 하고 어느 쪽으로 가는 것을 “오다”로 할 것인가?
둘째, “가다”와 “오다”의 개념이 순서가 있는 것일까? 즉 “가다”가 존재하고 “오다”가 존재하는 것일까 아니면 그 반대일까, 아니면 둘 다 동시에 존재하는 것일까?

이걸 모르면 이게 바로 수학을 모르는 것이라서 그 다음의 모든 것을 모르는 것이며 단순히 문제만 풀어서 답을 내는 것 즉 “수학문제를 푸는 사람” = “사람이 아닌 기계”가 되는 것입니다.
제발 아이들과 함께 문제를 풀지 말고 제가 설명하는 것들을 같이 고민하시기 바랍니다.

왜 같이 고민하냐고요? 간단합니다. 여러분도 지금까지 살고 수학공부했으면서도 모르고 있기 때문입니다. 수도 없이 많은 수학 전공 선생님들과 대화를 하면서, 왜 마이너스와 마이너스를 곱하면 플러스가 되는지 아는 사람을 못 보았으니, 또한 학생들이 아는 아이를 못 보았으니 제발
“난 안다”라고 말하지 말고 차근차근 배우시기 바랍니다.

너무 길어서 다른 편지로 2탄 올립니다.

Ernest