수학강의 22와 덧셈 뺄셈의 의미

어제 공부한 부분이 단 한 문제에 불과해서 조금 더 진도를 나갑니다.
205에서 206페이지에 걸쳐서는 매우 중요한 것들이 나옵니다. 하나는 21강에서 이야기 한 것이고 또 하나는 addition과 subtraction에 관한 관계의 설정입니다.

지금까지 5-4 는 그냥 5에서 4를 뺀 것이므로 1이다. 라고 생각하시는 분들이 많을 것 같은데요… 이게 그렇지 않다는 것입니다.
5-4 는 5 + (-4)입니다 그래서 1이란 답이 나오는 거지요. 즉 두 수 끼리 뺄 수는 없다는 의미가 되는데… 음.. 왜 그럴까? 오직 더할 뿐이라는 뜻인데 왜 그럴까?

21강에서 밝힌 내용을 모르면 즉 산수만 알고 ‘수학’을 모르면 이게 그냥 수학자들이 만든 약속이다 라고 외우는 수 밖에 없습니다. 그러나 ‘수학’적으로 생각하면 나오는 문제이지요.

먼저 signs에 대해서 좀 더 생각해 봅시다. 어떤 수가 ‘양’의 수 이면 ‘음’의 수는 그 “반대의 direction을 가진 수로” 정의 하는 것입니다. 이때 먼저 정해지는 것이 “positive”의 개념이며 이와 반대의 방향을 negative로 정한다는 뜻입니다. Negative가 먼전 정해 질 수 없다는 것이지요.

즉 이 세상에 왼쪽과 오른 쪽의 두 가지 방향만 있다고 가정 했을 때 왼쪽을 먼저 이야기 하면 왼 쪽이 positive가 되고, 오른쪽이 negative가 되고, 반대로 오른 쪽을 먼저 정해서 positive로 만들면 왼쪽이 negative가 된다는 것입니다.

따라서 수학에서 말하는 positive, negative는 그 말 자체에 절대성이 있는 것이 아니고 ‘논리’의 순서를 말할 뿐입니다. 우리가 그래프나 diagram에서 negative를 항상 왼쪽에 그리고 positive는 항상 오른쪽에 그리도록 하자는 것이 바로 수학적 ‘약속’이며 이 역시 논리의 일관성을 위한 것일 것 정말 음수는 왼쪽에 양수는 오른 쪽에 오는 것이 아님을 기억해야 할 것입니다.

자 그러면, 빼기라는 기호는 있는데 뺄셈이라는 것은 없는 것일까? 그리고 뺄셈이 없다면 뺄셈이라고 배운 그 동안의 것들은 무엇일까? 라는 의문이 들 것입니다.

예를 들어서 5미터를 갔다가 4미터를 뒤로 돌아서 가면 최종적으로 원점으로부터 간 거리는 1미터가 됩니다. 이런 것들을 5-4 = 1로 나타낸 것입니다.

그렇다면 생각해 봅시다. 처음 5미터는 “간” 것이고 그 다음 4미터는 “간” 것의 반대 인지…..
“간”것의 반대말은 무엇이지요? “돌아온” 것이라고요? 그건 이미 방향을 정한 후에 그 방향을 기준으로 하는 말일뿐입니다..

“가다”라는 진정한 행위의 반대말은 무엇일까요? “안가다”입니다.
“사랑”의 반대말이 “미움”이 되지 않고 “무관심”이 되는 것과 같은 이치입니다. “사랑하다”도 행위요 “미워하다”도 행위니… 둘 다 존재하는 행위일 뿐 하나는 존재하고 하나는 존재하지 않는 것이 아니니까요.

따라서 5 미터를 가고 방향을 반대로 돌려서 4미터를 갔더라도 “행위”의 입장에서 보면 이 사람이 걸은 행위는 모두 9미터에 해당하는 움직임일 것입니다. 그러니 결국 “뺄셈”이 가능하다면

5-4 =9가 되는 기이한 셈이 될 것입니다. 그러니 결국
5-4 = 5 + 4 = 9가 되어서 뺄셈을 하던 덧셈을 하던 모두 답은 9일 수 밖에 없는 것입니다.

그런데 5 - 4 가 그 답이 1일 수 있기 위해서는 결국 뺄셈을 하지 못하고 덧셈을 하기 때문에 그렇습니다. 즉

5 + (-4)로 고치면 이 뜻은 무엇이 되냐 하면
먼저 5미터를 걸었다. 여기에 “더하여” 4미터를 더 걸었다. 라는 뜻이 됩니다.
그러나 이 때 그 걸은 방향은 “-“이다. 즉 5미터를 걸었을 때의 방향의 반대이다…..

라는 올바른 뜻이 됩니다..

즉 뺄셈은 “수학”에서는 불가능하고 “산수”에서만 가능합니다.
그래서 5-4 를 직접 5에서 4를 빼서 1을 내는 방법은 ‘산수’이지 ‘수학’이 아니지요…

질문하나 할게요.
여러분은 지금까지 단순 덧셈 뺄셈에서 ‘산수’를 해 오셨나요? 아니면 ‘수학’을 해 오셨나요…

자 여기까지 이해가 가셨다면
이제 뒤로 살짝 돌아가서 203페이지의 중간 Tip box에 나오는 ‘combine’이라는 표현을 느낄 수가 있습니다.

왜 이 말을 쓰냐 하면 ‘덧셈’이라고 말하면 사람들이 ‘산수로서 더하기’를 하고
‘뺄셈’이라고 하면 ‘산수로서 빼기’를 하므로…

‘산수’의 ‘덧셈, 뺄셈’은 ‘수학’적 입장에서 보면 오직 ‘덧셈’일 뿐이므로 이 ‘산수’에서의 덧셈이라는 말과 ‘수학’으로서의 덧셈이라는 말을 구분하기 위해 ‘수학’으로서의 덧셈이란 의미에서 “add”라는 말을 쓰지 않고 combine이라는 말을 쓴 것입니다.

잘 생각해 보시고
205에서 207페이지에 이르는 문제들을 영어로 중얼거리면서… 그 각각의 단계가 가지는 뜻을 음미하면서, 자세하게 풀어 보시기를 바랍니다.

오늘도 기말고사 때문에, 진도를 많이 나가지 않습니다.

그저 생각해 보셔서 정신의 넓이를 더 넓게 만드시는데, ‘수학’을 이용하시기 바랍니다.

Ernest