205페이지에서부터 시작합니다.
지난 시간에 203페이지에서 언급하려고 했으나 오늘로 미룬 매우 중요한 이야기가 하나 있습니다.
무엇이냐 하면, 여러분 중에 혹시
7 - 5 와 7 + (-5)의 차이를 아시는 분이 있나 해서요..
둘 다 당연히 답은 2입니다. 그러니 차이가 없나요?
당연히 초등학교 고학년 또는 중학교 저학년 때 배웠던 것들인데... 다른 부분과 마찬가지로 이런 걸 배운 한국사람이나.. 혹은 안 배웠더라도 이게 다른 조금 표현법이 다르니 그 의미도 다르지 않을까? 라고 스스로 생각해 본 한국사람이 주변에는 없는 것 같아서 그렇습니다.
모르되.. 죽어라고 문제만 풀어서 그 답이 둘 다 2 라는 것만 계산해 내면 "아는 것"으로 해주는.. 그리고 누구나 다 그렇다... 라고 생각하니.. 머리가 좋아지라고 수학을 하랬더니 수학을 함으로 인해서 머리가 오히려 굳어버리는 방법을 사용하되...
밤새.. 이런 것을 배우고 가르치고 익히기 위해 시럼을 보는데... 이제 그 극치인 기말고사까지 가까워 오니... 정말 걱정이지요....
이번 주 정기강사교육에 기말고사 때문에 바빠서 못오시는 분들이 많이 있을 것입니다.... 답답하고.. 처연하지만... 그저 저는 저의 할일을 하면서 여러분이 변하기를 기다리고 기다릴 뿐입니다.
책으로 돌아갑니다. 6 - 9 는 두 가지 의미입니다. directions sign까지 사용해서 나타내면 다음과 같은 의미가 되지요.
(+6) - (+9) 또는
(+6) + (-9) 입니다
저에게서 늘 배우셨듯이 이것들을 '수학'이라고 명명한 의미는 이것들이 '산수'가 아니기 때문에 그렇습니다. '산수'가 아니고 '수학'이면 이것들의 algebraic standard가 있다는 의미입니다. 그렇지요?
그렇다면 덧셈 또는 뺄셈에서는 '대수기준'이 같은 것만 계산이 되므로 여기에서 나온 수 6, 9 또는 -9 는 같은 대수 기준을 가지고 있을 것입니다. 자 이대 algebraic standard가 '사과'라고 해 봅시다.
여기에서 +,-,x,%(참고로 키보드 자판에 나누기 표시가 없어서 퍼센트 표시로 나누기 표시를 대신합니다.)의 네 개의 operation역시도 어떤 행위를 대신한다는 의미가 있음을 아셔야 합니다.
자 새로 나오는 설명이니 매우 유의하셔야 합니다.. 이것 역시 너무나 당연한 것이나 마치 콜럼부스의 달걀처럼 아무도 생각하지 않는 것입니다.
즉 6과 9만 '사과'라는 대수기준이 있는 것이 아니고 여기에 등장하는 -나 + 역시도 행위의 대수적 표현이라는 것을 스스로 이해가 갈 때 까지 연구하고 생각하시기 바랍니다...
제가 많은 아이들을 우리나라 최고의 실력을 가진 영재로 키우면서 철저해 느꼈던 것은 바로 이 아이들이 문제를 못 푸는 것이 아니라 바로 문제를 "산수"로 느끼는 것일 뿐 "수학"으로 느끼지 못한다는 사실이었습니다.
즉 '수학'으로 느끼는 순간 지금까지 이 아이가 얼마나 소설책을 읽었는지, 얼마나 고민해 보았는지의 실력의 수준에 따라 문제는 쉽게 풀린다는 사실입니다. 무슨 말이냐고요?
여러분들이 알기 쉽게 하기 위해서.. 여기에 나온 6 - 9의 식을 놓고 생각해 봅시다. 이 수식을 현실화 각자 현시화 시켜 보시기 바랍니다.
6과 9는 대수 기준이 같으니 하나의 대수 기준을 적용심키고.
"-" 는 대수적 행위를 말하니 어떤 행위를 -로 표현했는지 한 번 스스로 생각해 보시기 바랍니다,
여기에서 한 가지 용어를 더 추가해야 하는군요. "대수적 행위"라는 용어입니다. 지금까지 어떤 수학책에도 나오지 않았지만 사실 너무나 당연한 말입니다.. 너무나 당연하기에 수학자들은 이 용어를 쓰지 않는 것인데 사람들은 '수학'을 '산수'로 보기 때문에 이 용어가 절실히 필요하다는 것을 제가 느껴서 제가 만드는 수학 용어들입니다. 이미 '대수기준'이란 말은 여러분이 아실터이니 오늘 '대수적 행위'라는 말 하나를 더 추가해서 이해하시기 바랍니다.
예를 들어서 3 + 3은 "세개의 사과를 먹고 3개를 더 먹었다." 라고 나타낸다고 할 때 앞의 3과 뒤의 3은 모두 '사과'라는 대수기준을 가지고 있고 "먹었다"라는 말은 여기에서 '+'라는 기호로 표현되어 있으니 여기에서 '+'의 대수적 행위는 바로 "먹었다"라는 행위입니다. 이해가 가시지요?
제가 아이들을 영재를 만들 때 모든 과목에서 이 '대수기준'과 '대수적 행위'를 아이들의 머리 속에 만들어 주는 것입니다. 즉 추상적'산수'가 아닌 구체적 '수학'으로 바꾸어 주는 것이지요...
이때 3 + 3 = 6 이라는 식을 보고 3에 3을 더 했더니 6이 되었다. 라는 산수로 이해를 하는 것인지, "사과를 3개 먹고 3새를 더 먹었더니 모두 6개를 먹은 것이 되었다'라는 현실적 의미를 가진 '수학'으로 이해를 하는 것인지의 문제이라는 것입니다.
위의 문제와 같은 단순한 문제까지도 '산수'로 가르치니 방정식같이 어려운 것으로 들어가서 이를 '수학'으로 인지할 수는 없는 아이들이 됩니다. 그래서 문제를 못 푸는 것인데... 모든 아이들은 "문제를 많이 풀지 않아서 못 푼다"라고 잘못 인식하고 있더라는 것입니다. 그런데 무섭게도 이 사실이 바로 '선생님'들에 의해 알게 되었다는 무시무시하게 된 사실입니다.
그래서 결국 아이들이 수학을 어려워 하거나 못하는 이유는 바로 수학을 해 본 적이 없기 때문이었습니다. 처음 읽는 분 들을 위해 다시 정리합니다.
3 + 3 = 6 이란 식을 보고
"3 더라기 3은 6 이다"의 뜻으로 보면 이것은 '산수'이고
"사과를 3개 먹고 3개를 더 먹었다"의 뜻으로 보면 '수학'입니다.
그러니 수학이란
첫째, 3 + 3 = 6 이란 수학적 문장을 "사과 세개를 먹고 세개를 더 먹어서 모두 6개를 먹었다."라는 인문학적 문장으로 읽을 수 있는 능력을 키우는 것이요
두번째는, 사과 3개를 먹고 3개를 더 먹어서 결국 모두 6개를 먹었다"라는 인문학적 문장을 3 + 3 = 6 이란 수학적 문장으로 바꿀 수 있는 능력을 키우는 것입니다.
이때 이 두 가지 과정에서 "대수기준"과 "대수적 행위"를 표현하는 숫자와 연산기호의 논리성을 지키는 것이 수학의 모든 것이라고 할 수있습니다.
다시 처음으로 돌아가서 위의 예를 현실화 시켜 보겠습니다.
+6과 -9의 대수 기준 부터 구해 봅시다. 예를 들어 이 수 들이 '사과'를 나타낸다고 해 봅시다. 그렇다면 +6은 알겠는데 -9개의 사과라는 것은 있을 수 없습니다. 그러니 사과는 대수 기준이 될 수 없는 것이 됩니다..
느낌이 오십니까?
즉 (+6) + (-9) 라는 식을 '산수'가 아닌 '수학'으로 이해를 하자면 먼저 '대수기준'과 '대수적 행위'를 정해야 하는데. 대수기준 부터 정할 수 없으니 이미 이것은 말이 안 되는 것이지요...
따라서 (+6) + (-9)라는 식에서 각 숫자의 대수기준이 '사과'가 되면 식이 성립되지 않는 것입니다.
그러나, (+6) - (+9) 이란 식에서는 어떤가요? 둘 다 +이니 '사과'라는 대수 기준을 적용할 수 있군요..
그러면 그 다음으로 '대수적 행위'를 정해 봅시다.
이때 "-"의 의미를 확정하는 것을 말합니다. 또 생각해 봅시다.
예를 들어서 연산자가 '먹었다'라는 것을 나타낸다고 해 봅시다 그렇다면 '+'는 '먹었다'가 될 것이고 '-'는 먹었다의 반대말인 '게워 냈다'가 될 것입니다. 그렇다면 (+6) - (+9)라는 식은 여섯개의 사과를 먹고 그 다음에 아홉개의 사과를 게워 냈다, 라는 뜻이 됩니다.
이잉? 이빨이 없이 통채로 삼켰나요?
결국 여기에서 operator는 '먹었다'라는 뜻이 될 수 없습니다.
'대수적 행위' 즉 operator의 의미를 다시 한 번 정의해 봅시다. "주다'라는 뜻으로 해 봅니다. 그러면 '+' 는 '주다'라는 의미가 된다면 '-'는 '받다'가 될 것이고 반대로 '+'가 '받다'라는 의미이면 '-'가 '주다'가 될 것입니다.
그렇다면 (+6) - (+9)이란 식은 "여섯개의 사과를 주고 9개의 사과를 받았다."라는 의미가 되는군요.... 아하 이제 말이 되었습니다.
자! 수학이란 것이 어떤 것인지 약간이라도 의미가 가슴으로 다가 오시기를 바랍니다.
그러니 결국 수학이란 <우리 인간의 언어를 "말이 안 되는 부분"을 과감히 빼고 "논리적으로 말이 되는" 부부만을 골라서 "수학적 표현" 즉 "대수기준"과 "대수적 행위를나타내는 operators"를 사용해서 나타내는 문장> 입니다.
그런데..이런 논리를 전혀 생각하지 않고 이 논리를 적어 놓은 수학식을 오히려 '산수식'으로 해석하는 것.. 즉 '수학'을 망치는 방법을 아주 논리적이고 체계적으로 배우는 곳이 바로 학교와 학원이란 곳입니다...
혹시라도 저 같은 사람이 나타나서 '수학'을 가르칠 까 봐 고삐를 늦추지 않기 위해 중간고사 기말고사로 무장해서... 도저히 끼어들 곳이 없지요....
직접 아이들을 가르쳤던 이유는 이들이 이런 식으로 공부를 할 줄 알게 되면 사회에 나와서 "선생"이 되어서 저 혼자 할 수 없는 일을 나누어서 하길 기대했는데..
시간이 지나고 보면 이들은 '천재'가 되어서 알아주는 '직장'에서 많은 돈을 받으며 사는 생을 택하니.. 그저 답답하고 슬플 뿐입니다.
그리하여 결국 택한 것이 '학원사업'입니다...
그러니 제발 여러분은 저를 따라 주시기 바랍니다.
자 여기까지 읽으시면서.
(+6) + (-9)의 답과
(+6) - (+9)의 답이 '산수'적으로는 같지만
도저히 '수학적'으로는 같지 않다는 것.. 전혀 다른 것이라는 것을 느끼셔야 저의 노력이 헛되지 않은 것입니다.
첫째 식의 경우를 "수학적"으로 예를 들어 보고 오늘 강의는 여기서 끝냅니다.
(+6) + (-9) 의 경우 숫자는 "이동한 거리" 를 나타내고 부호는 "방향"을 나타낸다고 해 봅시다. 그러면 -9라는 것도 의미를 가질 수 있네요. +9가 오른 쪽으로 9미터 간 것이면 -9는 왼쪽으로 9미터 간 것이 되는군요.
그러니 (+6) + (-9)는 "오른 쪽으로 6미터 간 다음에 왼쪽으로 9미터 간 경우"가 되는 군요...
여러분 혹시 이 순간에도 아이들에게
사과를 6개 주고 9개 받은 사건과
오른쪽으로 6미터 간 다음 왼쪽으로 9미터 간 사건이
"완전히 같은 것이다."라고 가르치시지는 않는지요.. 그래서 아이들이 수학문제를 약간만 바꾸어 놓아도 풀지 못하는 바보를 만들어 놓는 댓가로 아이들로 부터 돈을 받고 계시지는 않는지요...
이 일에 인생을 걸 수는 있되... 비스마트일을 하기에는 너무 힘들고 계시지는 않는지요....
이번 주 강사교육에 꼭 오시기를 바랍니다.
한 달에 하루라도 제대로 살아 봐야지요..
Ernest
(+6) + (-9)
(+6) - (+9)