new 수학강의-5
작성자 : Ernest ,    E-Mail : ernesthan@hanmail.net ,    등록일 : 2009-12-01 12:37:57 ,    조회수 : 5 
 
 
 지난 토요일에 fractional equations에 대해서 조금 했습니다. 다음 진도를 나가기 위해 배운 것을 복습해 보면서 그 내용을 정리해 봅시다.
먼저 fractional equations의 의미를 봅시다. ‘분수방정식’이란 말은 두 가지 의미가 있는데, 하나는 방정식의 어느 부분에 분수가 포함되어 있는 것을 가리키는 것이고 또 하나는 분수의 denominator에 variable이 있는 것을 말합니다.
전자는 ‘분수의 형태가 포함되어 있는 것’이므로 사실 별로 특별할 것이 없습니다. 기존의 방식 그대로 풀면 되니까요…

그러나 ‘분수방정식’이 문제가 되는 것은 사실, denominator에 variable이 있는 경우입니다. 그래서 수학적으로는 이 것만을 fractional equations라고 합니다. 왜 일까요?

예를 들어서 (3+2x)/4 = 4라는 equation 이 있다고 합시다. 그러면…
1. divide both sides by 1/4 - 그러면 3 + 2x = 1
2. sort terms = 2x = -2
3. divide = x = -1
이 과정에서 지금까지 방정식을 공부해 왔던 것 그대로 process를 진행하면 됩니다.
그런데 만일 4/(3 + 2x) = 4의 형태의 문제가 나왔을 때 즉 denominator에 variable이 들어갔을 때가 문제입니다. 무엇이 문제일까요?

이것 역시 그 이전의 것과 마찬가지로
1. divide both sides by (3 +2x) ; 4 = 4(3 + 2x)
2. apply distributive property ; 4 = 12 + 8x
3. sort; 4-12 = 8x
4. combine like terms on the left; -8 = 8x
5. divide -1 = x
6. apply the symmetric property of equality if desired; x = -1

이렇게 그냥 풀면 될 텐데 왜 fractional equation이라고 특별히 공부를 하게 될까요?

자 다음을 읽기 전에 정말 잘 생각해 보시고 그 이유를 스스로 생각해 보시기 바랍니다.
혹시 수학선생님이나, 아니면 이 정도는 쉬우니까 알고 계신 분 들이 extraneous root를 제거하기 위해서 그런다고 대답하려고 하신다면….. 다시 생각해 보시기 바랍니다.

마치 ‘소수는 1과 자기 자신이외에는 약수가 없는 수’라는 식으로 아는 것으로는 스스로를 설득하지 못합니다.

자 생각해 보셨나요?

방정식에서는 variable을 찾습니다.
A=B에서 양쪽을 다 아는 경우에는 산수이고, 한 쪽만을 아는 경우 equality sign을 통해서 다른 side도 유추해 내는 것이 equation이고, 이 둘 다 모를 경우 서로의 관계를 알아 냄으로 양쪽을 유추해 내는 것을 function이라고 하는 것입니다.

즉 A=B에서 한 쪽만 알아 내면 되는데, 이를 이루기 위해서 계속해서 isolation of the variable을 시도합니다. 즉 A나 B 중에 모르는 것을 variable(x)로 놓고 나머지 모든 숫자를 이 미지수에서 분리 시켜 내어서 다른 side로 보내면 결국 x 하나만 한 변에 덩그마니 놓이게 될 것입니다. 그리고 나머지는 모두 다른 side로 보냈으니 결국 x = a 형태의 root가 나오게 되는 것이지요… 그래서 a와 equality sign을 통해서 x의 값을 알아내는 것이지요…. 다 아는 이야기 같지만 이것이 중요한 이유는…

x의 값을 알아내기 위해 x를 isolate시켜야만 한다는 점….. 에 주목하시기 바랍니다.

그런데.. 이렇게 할 수 없는 경우가 생겼을 때는 어떻게 해야 할까요?

바로 “이렇게 할 수 없는 경우”가 바로 “정방정식(simple equations)이외의 방정식들이며 여기에 ‘분수방정식’ ‘소수방정식’ ‘제곱근방정식’….. 등이 있는 것입니다.

예를 들어 봅시다. 1/(2x +1) = 3 에서 x를 isolate해 봅시다. 그러기 위해서는 1/2x +1/1 =3같은 방식으로 left side의 fraction을 분리해 낼 수 있어야 하는데…. 그렇게 할 수 가 없습니다. 결국 2x + 1은 denominator로서 numerator인 1로부터 따로 분리할 수가 없습니다. 즉 x를 isolate할 수 없게 됩니다.

그래서 이를 가능하게 하려면 x를 잠깐 없앴다가 다시 등장하는 방법을 사용하게 되는 것입니다. 즉 양변에 (2x + 1)을 곱하게 되지요…

그렇게 되면 잘 보시기 바랍니다.

1/(2x + 1) = 3의 양변에 (2x + 1)을 곱하면…. 바로 이 표현에서 우리가 깜박 속는 것이 있습니다. 먼저 (2x + 1)을 곱한다는 것은 어디에서인가 없었던 미지수 x를 이 식에 가져온다는 말입니다.

두번째 이렇게 곱하고 나니 원래 있었던 1/(2x +1)에서의 분모인 2x + 1이 약분에 의해 사라지게 되지요… 무슨 이야기인지 느낌이 오나요?

원래 우리가 알고자 했던 것은 1/(2x + 1) = 3이란 식에서 좌변의 분모에 있던 x의 값을 알려고 했던 것인데…. 오히려 그것을 지워 없애 버렸군요….

그런데 다시 넣었으니 관계가 없다고요? 누구 맘대로?
당연히 이렇게 할 수 있다고 생각하는 것은 바로 수학을 문제를 푸는 과목으로 인식하고 있기 때문입니다. 유클리드 공준이나 공리.. the three basic properties등의 개념이 왜 나왔는지를 잘 알아야 합니다. 어렵거나 시간이 걸리는 개념이 아닌데도.. 문제를 풀기 위해 이런 것들을 그냥 지나치므로..
결국 multiplication axiom만 들추면 이런 문제는 쉽게 풀 수 있다고 생각이 드는 것입니다. 그러니 점점 힘들어 집니다.

사과 하나가 있습니다. 그 사과를 그냥 먹으면 됩니다. 그걸 먹지 못하는 경우 다른 것으로 먹어서 대체할 수 있습니다. 이때 원래의 사과를 먹을 수 있는데도 다른 것으로 대체해 먹는 일은 ‘수학’이라는 과목에서는 일어날 수 없습니다. 바로 수학적 논리는 그래서 이 세상에서 가장 정교한 것입니다.

원래로 돌아가 봅니다. (2x + 1)을 없애고 다른 (2x +1)을 집어 넣는다는 일을 ‘수학’에서는 문제를 풀기위해 돌아나가는 방법일 수는 있어도 “당연히 그렇게 할 수 있는 일”이 아닙니다.

바로 이 문제 때문에 예기치 않은 일이 생깁니다.
즉 원래 있었던 (2x + 1)에서는 없었던 문제인데, 이를 없애고 새로 받아들인(2x + 1)가 남들 몰래 끌고 들어오는 놈이 있습니다. 이것이 바로 extraneous root의 문제입니다.

Decimal equations에서도 같은 문제입니다.

그래서 원래의 x값이 취할 수 없는 범위의 것은 extraneous한 것으로서 우리가 exclude해야 하는 것이지요… 그래서 이것은 excluded values가 되는 것입니다.

토요일에 설명을 다 했으니 오늘은 이 정도를 합시다…

한 가지만 더…
fractional equations에서 extraneous roots들을 미리 아는 방법이 있는데.. 이것이 바로 denominator를 0으로 놓고 계산해 낸 x값 입니다. 즉 위의 경우에는 2x + 1 = 0으로 놓고 x = -1/2가 나오니까 이것이 excluded value가 되는 것입니다.

이 또한 왜 이렇게 계산하면 쉽게 extraneous roots가 나올까요? 생각해 보시고 답을 내 보시기 바랍니다.

ernest

P.S. 문제 몇 개 풀고 갑시다.

1. 266페이지 의의 example (-1/4)x = 9 - (2/3)x
2. 271페이지 0.38 + 1.1y = 0.6
3. (-5/7)p = (-11/21)
이 세 문제를 풀어 보시기 바랍니다. 몇 개 새로운 표현이 들어가는 것 아시지요? 모르시면 질문하시기 바랍니다.