설날에 장모님댁에 갔을때 처 조카가 함수에 대해서 자꾸물어 봐서 3시간 동안 본이 아니게 수업을 하게 되었습니다^^. 그때 했던 수업 일부를 글로 한번 기억을 더듬어 옮겨 봤습니다. 

대수학과 대수기준 그리고 몇 개의 예들

수학math은 무엇일까. 같이 한번 생각해 볼까. 흔히 수학은 크게 두 분야로 나눌 수가 있는데 하나는 algebra 즉 대수학이고 또 하나는 기하학geometry이지. 점, 선, 면부터 시작을 해서 평면도형이 되었던 입체도형이 되었던 도형을 다루는 수학분과가 기하학이다. 이건 나중에 얘기하고 오늘은 대수학에 대해서 기본적인 얘기를 좀 해보자.

자 수를 몇 개를 써보자. 1,2,3,4 이런 수들은 그 자체로서 의미가 있을까? 산수면 모를까. 수학에 있어서 수들은 그 자체로는 아무런 의미가 없다. 그럼 수가 무엇을 의미한단 말인가. 그렇지. 수들은 무엇인가를 대신 쓰는 것이지. 대수학의 본질은 수들은 무엇인가를 대신 썼다는데 본질이 있는 것이다.

수 1에 대해서 논해 보자. 1은 염소 한 마리를 대신 쓸 수 있고 사과 하나를 대신 쓸 수 있다. 염소 한 마리를 얘기 했다고 치자. 근데 그 염소 한 마리만 딱 얘기 하면 아무런 사건이 동반되지 않는다. 그래서 염소가 머? 그러니까 염소 한 마리를 어떤 목동이 데리고 있는데 염소 한 마리가 혼자 있는 게 불쌍해서 시장에서 한 마리를 더 사왔어. 그럼 목동은 몇 마리의 염소를 가지고 있을까? 이제 사건이 발생했지. 목동이 염소 한 마리(1)를 가지고 있었는데 더 한 마리(1) 더 사왔으니(+) 이제 두 마리가 되었지. 1+1=2. 각 1은 둘 다 염소를 대신 쓰고 있지. +는 무엇을 뜻하지. 그 상징기호도 무엇인가를 대신 쓰고 있는 것이지.

여기서는 ‘사왔다’ 는 뜻이겠지. 이렇게 하는 것만 우리가 수학을 한다고 얘기 할 수 있는 것이지. 자 이제 더 깊게 얘기해 보자. 1+1=2에서 앞에 1과 뒤에 1은 같은 것을 지칭하겠지. 앞에 1도 염소 뒤에 1도 염소 equal sign(=) 뒤에 있는 2도 역시 염소겠지. 즉 addition sign(+)으로 되어 있는 앞뒤숫자는 같은 것을 지칭하겠지. 하지만 이런 경우는 어떨까? 1+1=2에서 앞에 1은 염소 뒤에 있는 1은 호랑이 자 이제 동물은 몇 마리 있을까요? 어때 이렇게 해도 되는 것일까. 당연히 해도 되지.

차이점은 무엇일까? 집합이지. 동물이라는 집합으로 잡아버리면 반드시 앞에 1과 뒤에 일이 같은 것을 나타내지 않아도 되는 것이지. 즉 결국은 집합이 문제인 것이지. 자 다시 한 번 해보자. 2+3=5에서 앞에 2는 사과라고 하고 뒤에 3은 자두라고 하자. 재우가 오늘 시장에 가서 사과 두 개를 사고 자두 세 개를 사왔어. 자 여기서 주목해. 과일을 몇 개 샀을까. 다섯 개지. 하지만 이렇게 물으면 어때. 자두는 몇 개 샀을까? 당연 세 개지. 사과는 두 개지. 사과는 몇 개 할 때는 사과 집합만 의미를 하니 사과 개수만 포함하고 자두 집합은 포함이 안 되겠지.

하지만 과일이라는 집합 안에서 사과, 자두 둘 다 포함이 되서 답은 5가 될 수 있지. 결국은 무엇이 중요하니. 바로 집합이지. 홀수의 집합인 2과 짝수의 집합인 3는 더 할 수가 있을까? 더할 수 없다고 했지. 왜냐 짝수의 집합 2,4,6,8 등의 집합 안에 홀수가 들어 있지 않지. 그러니 같은 집합이 아니니 연산을 할 수가 없지. 즉 같은 집합을 안에 있어야 기본적인 계산, 연산이 가능하단다.

그러니 2+3=5가 되기 위해서는 2도 자연수의 집합 3도 자연수의 집합이라고 해 두어야 기본적인 계산이 가능하지. 당연이 그 결과 값 5도 자연수라는 집합 인에 있어야 하겠지. 위에서 동물이라는 집합으로 잡았을 때는 호랑이와 염소가 계산 될 수 있었지. 이해가 가지. 결국은 집합이 문제인거지. 그러니 중학교 1학년 수학책 첫 챕터가 바로 집합으로 시작하지. 하지만 어느 선생님도 수학에서 집합의 기본적인 위치도 제대도 설명하지 않지.

자 다시 돌아가 보자. 숫자는 기본적으로 어떤 무엇인가를 대신 쓰다고 얘기했지. 그리고 그 어떤 것 은 반드시 어떤 집합이 전제되어 있다고 했지. 그리고 더하기 기호 역시 무엇인가를 대신 행위를 대신 쓰는 거라고 했지(샀다, 먹었다 등). 더하기 기호 앞뒤 숫자는 같은 어떤 것을 공유한다고 했지. 물론 집합에 따라 달라진다고도 얘기했지.

하지만 기본적으로 더하기 앞뒤 숫자는 같은 어떤 것을 공유 하지. 앞에 수가 염소면 뒤에 수도 염소 이런 식 으로. 하지만 집합을 달리해서 물어 보면 또 염소2+호랑이3 이렇게 더 할 수도 있다 했지. 어떻게 하면. 동물이 몇 마리요. 이렇게 물으면 앞뒤가 달라도 연산이 가능할 수 있으나 기본적으로 더하기는 앞뒤 숫자가 같은 어떤 것을 공유한다고 알고 있으면 되겠다.

그럼 진정 연산기호 앞뒤에 다른 것이 와야 하는 경우가 있지 않을까. 그것이 곱하기의 문제인 것이다. 예를 들어 보자. 2×3=6에서 2와 3이 지칭하는 것은 반드시 달라야 된다고 설명을 했지. 기억 날거야. 2를 연필이라고 치자. 그럼 연필 두 자루겠지. 뒤에 3은 절대로 연필이 될 수 없지. 내가 연필 다섯 자루 줄 테니 6자루 만들어 봐. 절대 불가능이라는 걸 알거야. 곱하기 뒤에 3은 연필을 지칭하는 것이지 아니라 예를 들면 묶음 또는 뭉치라고 하자. 그러면 연필 두 자루 2 × 세 뭉치 3 있는 것이지. 연필 두 자루씩 세 뭉치를 얼마야. 연필 여섯  자루6지. 2(연필) ×3(뭉치)=6(연필)이렇게 되지.

여기서 또 중요한 것은 뒤에 답 6은 맨 앞에 나오는 숫자가 지칭하는 것을 공유한단다. 여러 번 설명했지. 2×3×4×5=120 여기서도 마찬가지 앞에 2와 120은 같은 어떤 것을 공유한다. 그리고 가로와 세로를 곱하면 왜 면적이 나온다고 했지. 가로가 몇 개의 뭉치가 있는 것이지. 아니면 세로가 몇 개의 뭉치로 있든지. 다 뭉치를 합쳐보니 결국은 면적이 되는 것이지. 가로 5cm x 6cm를 곱하면 면적이 나오는데 일단 5가 가리키는 것을 설정해 보자. 성냥개비라고 하자. 성냥개비 하나를 자로 정밀하게 재어보니 가로 5cm이네. 세로를 재보니 1cm 이네. 1cm식 자를 수 있다면 다섯 토막 나오겠네. 어째든 이런 성냥개비 6개가 한 치의 오차도 없이 위로 붙이면 성냥개비가 차지하는 공간이 넓어지겠네.

그것을 우리는 면적이라고 부르는 것이지. 결국은 하나의 성냥개비가 몇 개모인 것일 뿐이지. 30개의 같은 토막이 있는 것이지. 그리고 이 30개의 토막은 한 치의 오차도 없이 붙어 있는 것이지. 그리고 cm 제곱이 되어야지. 여기서 제곱은 차원을 얘기하는 것이지. 즉 평면 차원에 있는 것이지. 하지만 만져 보면 손으로 만져 지니 평면이 아닌 높이 라는 차원이 더 추가 되어 3차원이 이라는 것을 알 수 있지. 1cm 올라 있잖아. 그런데 왜 평면이라고 하지. 높이가 추가 되어 있는 공간이랑 구분하기 위해서지. 그럼 5cm x 6cm에서 3cm를 더 곱하면 어떻게 될까. 30개짜리 토막이 위로 3배씩 쌓이는 것을 뜻하겠지. 공간도형임을 의미하지. 그러면 5cm x 6cm+3cm는 무엇을 뜻할까? 생각해 보렴.



과학에서 최종공식으로 나온 거의 모든 것들을 잘 살펴보면 거의가 곱하기로 이루어져 있단다.

열량을 구하는 공식을 한번 살펴봤지. 열량=비열×질량 ×온도변화였지. 일단 왜 공식이 이렇게 되는가는 담에 만나서 얘기할 수 밖 게 없겠네. 어째든 곱하기로 이루어져 있지. 비열은 어떤 특정한 물질 1kg을 1도 높이는데 들어가는 열이지. 기본적인 양인데 거기에 열량은 질량의 따라 달라지니 당연 뭉치에 해당하는 질량을 곱해야지. 고민 고민 해야 한다. 수학과 과학을 한다는 것은 어느 누구도 하지 않는 깊은 고민 수렁이로 들어가는 것이란다. 때로는 외롭고 쓸쓸하기도 하지만 인간으로 태어나서 이런 고민은 해야 하는 것이란다.

그리고 열을 측정해야 하니 온도 변화까지 곱해 주어야지. 이제 이런 거를 두고 곱하기의 의미를 매일 생각해야한다. 이 세계 전체를 설명할 수 있는 열쇠는 바로 곱하기에 있으니 고민할 만 한 거 아니겠어. 자 이제 다른 예를 한번 들어보자. 우리가 핸드폰으로 전화를 하는데 1분당 60원의 이용료가 부가 된다고 해보자. 실제로는 얼마 되는지 모르겠네. 그리고 한 달 동안 한 통화로 하지 않았는데도 기본이용료가 나오지. 가본이용료를 7000원이라고 하자. 그럼 수학은 현실을 그대로 다 표현할 수 있다고 했지(대수학). 숫자로 표현 해보자. 분당 60원이니 60x라고 하면 되겠네. 여기서 x는 ‘분’이겠지.

그럼 x가 주어지면 따라서 요금이 움직이겠지. 그렇지. 분당 60원이지 2분이면 120원 그렇지. 그러니 시간이 변함에 따라 요금이 바뀌겠네. 요금을 y라고 하자. 표현하면 y=60x 라고 표현하면 되겠네. x가 변하면 y가 변하지. 즉 분당 요금이 바뀌네. 그렇지. 그러니 1분은 정의역에 한 원소겠지.2분도 마찬가지고. 분이 변할 때 가격이 같이 변하지. 그러니 y요금 전체 집합(가능한 한 나올 수 있는 요금)을 공역이라 그랬지.

정해진 구역(정의역)이 변하면 같이 변하니 공역이라 그랬지(y 집합전체). 1분, 2분 넣으면 60원, 120원 변하잖아(같이 변화지). 60원 120원 같은 실제 값은 치역의 집합 안에 들어가게 되는 거지. 이해가 가지. 공역 안에 치역이 부분집합으로 있는 거지. 고급스럽게 표현하면 그렇지. 자 다시 수식을 써보자. y=60x 에서 우리가 하나 빼 먹은 게 있지 기본요금이 있었지. 7000원이었지. y=60x+7000 이렇게 써야겠지. 60은 요금, x는 분당이었고 결국 뭉치개념이지. 60x 자체로 요금이지. 당연 7000도 요금(기본요금), 다 합치면 당연 요금전체가 나오겠지.

자 x가 0분일 때를 현실적인 말로 고치면 무엇이 될까? 즉 한달 동안 전화 한 통화도 안 한다는 뜻이지. 하지만 그래도 7000원이 나오지. 초깃값이라고 얘기 했지. 그럼 이제 그래프를 너 가 한번 손으로 그려 봐. x축은 당연 분당이고 y축은 요금이겠지. 그리고 x축이든 y축이든 연속적으로 계속 뻗는 거라고 했지. 분당 요금을 점으로 찍으면 직선으로 계속 올라가겠지. 그리고 0분일 때 7000(y값)이지. 7000에 찍힌 점부터 시작해서 선을 그어야겠네.

이 그래프의 최솟값은 7000원 일거고 최댓값은 계속 요금이 올라가니 정할 수 가 없네. 그렇지. 그러면 ‘최댓값은 없다’라고 말하면 되겠네. 이렇든 x가 변 할 때 마다 같이 요금y이 변하니 둘은 서로 functioning하고 있다고 하면 되겠네. 즉 둘은 서로 영향을 주고받는다. 즉 기능을 한다고 할 수 있는 것이지. 그것을 중국 사람들은 함수 관계에 있다고 하는 것이지. 그럼 함수와 방정식의 관계는 무엇일까?

방정식 이미 y값이 주어진 식을 주는 것이지. 함수는 x와 y 둘 다 모르는 것이고 알겠지. 위에 식을 방정식 형태로 써보자.  y=60x+7000에서 y값 즉 요금이 주어지는 것이지. 예를 들면 7180=60x+7000 이것이 일차방정식 인 것이지. 이제 x를 어떻게 구했지. 즉 분당 60원인데 몇 번 통화 했는지는 모르겠으나 요금이 기본요금 7000원과 합쳐서 7180원이 나왔다. 몇 분을 통화를 했을까요? 이런 식으로 문제가 바뀌는 것이지. 그럼 몇 분을 통화했는지 한번 구해 보자고. 일단 양변에 7000원을 빼야겠네.

여기서 왜 양쪽에 같은 값을 빼는지 깊은 고민을 해야 한다.   

7180-7000=60x+7000-7000(addition axiom by the basic principle of equality). 그러면 180=60x+0. 여기서 항등원 identity에 의해서 180=60x가 된다. 180(요금)/60(요금 뭉치)=60(요금)x/60(요금뭉치) 즉 multiplication axiom by the basic principle of equality 의해서 그렇지. 3=x. The symmetric property of equality의 의해서 x=3, 답은 3분이네.

또 하나 다른 예를 들어 보자. 밤에 책을 읽다가 배가 너무 고파 라면을 하나 끓여 먹는 다고 해보자. 냄비에 물을 부을 받고 온도를 재어 봤다니 15도였어. 이제 가스렌즈에 불을 올리고 물을 끓여보자. 그냥 끓여 먹긴 심심해서 분당 얼마나 물의 온도가 올라가는지 재어봤지. 1분 지났을 때 온도계를 냄비에 넣고 눈금을 읽어보니 32도였지.

또 1분이 지났을 때 49도였지. 3분이 지났을 때 또 온도계를 확인해 보니 66도였지. 1분씩 지날 때 마다 17도씩 올라가고 있었어. 시간(분당)이 지날수록 온도는 계속 올라가고 있어. 그렇지. 시간과 온도가 서로 가능을 하고 있네. 즉 함수관계에 있네. 하지만 시간이 변해야 온도가 변하는 관계지. 시간이 변하면 같이 온도가 변하네. 그래서 온도가 공역 즉 같이 변하는 구역이라는 뜻이지. 영어로 co-domain이지. 그럼 정의역은 domain 이겠지.

그럼 이 둘의 관계를 숫자로 표현에 볼까. 영어로 식을 expression 이라고 하는데 왜인지 알겠지. 어떤 현실의 사건을 표현하는 거잖아. 그러니 expression이 식이지. 자 분당 17도씩 올라가니 곱하기로 표현해야겠지. 17x 이런 식으로 말이지. 17은 당연히 온도를 대신 쓴 것이지. 그런데 그 온도가 몇 개의 뭉치로 있다고 보면 되지. 냄비의 받은 물의 원래 온도는 15도였지. 원래 물이 15도 이니 17x+15 라고 표현하면 되겠네. 여기서 x는 무엇일까.

그렇지 분당 이었지. 그러니 y= 17x+15 라고 표현하면 딱 되겠네. x 는 시간 그리고 y는 온도 이지. 둘이 분명 기능 관계, 한수 관계에 놓여 있네. 그래프를 그리면 시간이 지날 때 마다 온도가 쭉쭉 올라가는 그래프가 만들어 질 테고. 나중에 얘기 하겠지만 x 앞에 붙은 계수 17을 기울기라고 하지. 즉 분당 17도씩 올라가거나 내려간다는 말이야. 여기서는 올라가기만 할  꺼야.

즉 x축이 분을 나타내니 분당 1도씩 움직일 때 마다 y축 온도가 17도씩 올라가거나 내려간다는 소리지. 그리고 원래 물의 온도였던 15도는 y축의 절편을 얘기하는 거지. 즉 y 축을 끊어 먹는 다는 소리인데 x에 0을 넣으면 y축에 해당하는 값만 나오겠지. 15도가 나오지. x가 0분이라는 소리는 무슨 말일까? 숫자는 현실을 그대로 쓴 것인데. 아직 물을 끓이지 않은 상태라는 뜻이지. 그것이 x는 0이라는 현실적 의미이지. 어때 재미있지.

그런데 학교에서는 y=17x+15라는 식을 학생들한테 주어서 얼른 무작정 그래프를 그리는 연습을 하는데 참 걱정이야. 아직 위에 식의 문자 또는 숫자가 현실에 무엇을 지칭하는지 얘기 하지 않고 x에 1,2,3,4 등을 넣고 그래프 그리고 있으니 말이야. 음수 -1, -2, -3 등을 넣어서 직선이 밑으로도 이어진다고 얘기하지만 실제 현실에서는 꼭 그렇게 되지 않는단다. 방금 든 라면 예에서도 보다시피 x(분)에 음수 값을 넣을 수가 없잖아. `-1, -2, -3 분이 어디 있어. 그렇지. 그러니 y(온도)도 양수만 나오겠지. 

그러니 위의 그래프에서 x가 들어갈 수 있는 범위, 집합은 0을 포함한 양의 정수가 되겠지. 물론 x(분)가 너무 올라가면 y(물의 온도)가 너무 올라가서 물이 증발 해 버릴 테니 y의 값이  위로도 무한정 정해 질수 있는 것이 아니네. 동시에 x(분)도 마찬가지겠지. 이런 식 으로 식에 대수기준(각 숫자가 지칭하는 현실적 대상, y는 온도, 17 온도, x 분당, 15 온도 그리고 + 기호 역시 ‘온도가 올라갔다’  라는 현실적 사건을 말함)을 설정하는 순간 현실적 사건으로 자연스럽게 집합이 전제 되어 버리는 것이지. ‘-1, -2, -3 분을 포함  안 된다’라는 말이 없어도 당연히 그쪽 집합은 포함 안 되는 것이지.

y 값의 집합도 물의 온도가 무한정 올라갈 수 없으므로(증발) 그 상한선을 180도 라고 두면 y=17x+15 함수식은 180≤17x+15 이라는 부등식으로 변하게 되네.  y=17x+15 이라는 함수식을 각 수나 문자에 현실적 대상을 설정하지 않고 식을 보면 그것은 산수를 한다고 볼 수 있지만 위식을 수학으로 보는 순간 즉 현실적 사건을 지칭한다고 보는 순간 180≤17x+15 같은 부등식의 문제가 되어 버린다는 것이지. 물의 온도가 최대한 올라갈 수 있는 범위를 나타낸다는 것 알 수 있지. 결국은 수학적 행위를 함에 있어서 항상 집합은 전제 되어 있다는 것을 알아야 해.

알겠지. 여기서 대수 기준 이라는 말은 나의 스승님이 본인 스스로 수학을 제대로 하기 위해서 만드신 용어니깐 어려우면 위에서 내가 쓴 것처럼 이해하면 된다. 자 이제 냄비에 라면은 언제 넣으면 잘 익을까. 그렇지 섭씨 100도겠지. 위의 부등식 180≤17x+15이 이제 특정한 현실적 사건을 만나게 되었네. 특정한 현실적 사건은 다름 아닌 막 물이 끓기 시작하는 순간이지. 섭씨 100도 라고 했으니깐 식을 세워 볼까? 17x+15=100 이렇게 되지. 방정식 문제가 되어 버렸네. 몇 분(x)에 라면을 넣어야 되는지 구해보자고. 일단 양변에 온도 15도씩 빼 보자고.

즉 상온에서 온도 15도 식혀보자고. 17x+15+(-15)=100+(-15) 그럼 양변에 역수 inverse element 더해 주었으니 17x+0=85 되지(addition axiom). identity 성질 때문에 17x=85가 되지. 17x/17=85/17. 결국 x=5(분). 결국 5분이 지난 후에 100도가 된다. 그때 라면을 넣어야 하겠다.

또 다른 예를 하나 더 들어보자. 어떤 사람이 등산을 한다고 해보자. 1km 올라갈 때 마다 -6 씩 온도가 떨어진다고 해보자. 실제로 1km 올라갈 때 마다 그 만큼 씩 떨어진다. 2km면 -12도, 3km면 -18도 떨어지겠지. 하지만 지상에서 온도는 15도라 하자. 즉 초기조건이 15도 라는 말이다. 1km 올라갈 때 마다 온도가 6도씩 떨어지니 x를 고도라고 하고 그에 따른 결과 온도가 y라고 하면 되겠다.

 km당 6도식 떨어지니 -6x 라고 하면 되겠다. -6이 의미하는 것은 온도이고 x가 의미하는 것은 고도이니 온도의 변화는 고도 때문이니 x는 온도의 뭉치 값이라고 해도 좋겠다. 연필 6자루가 x뭉치만큼 있는 것이랑 같다. x뭉치만큼 있다는 것은 결국 연필개수의 변화를 의미 하듯이 -6도가 산의 높이에 해당하는 만큼 배로 증가 할 것이다.

결국은 -6x는 온도의 변화에 대한 얘기이고 그리고 여기에 초기온도인 15도를 더해주어야 한다. 온도의 변화에 온도를 더 하는 것이다. 식으로 표현하면 ‘-6x+15’ 이것은 온도를 나타내니 최종 식은 y=-6x+15 라고 할 수 있다. 여기서 y는 위에서 얘기 했듯이 x고도에 따른 y온도를 얘기하는 것이다. 1km 올라갈 때 마다 온도가 9도, 3도, -3, -9 등으로 떨어진다. x가 1(km) 변할 때 마다 6도씩 떨어진다. 즉 기울기가 -6도 이다. x가 0일 때를 현실적으로 무엇이라고 하면 될까?

산에 올라가기 전 지상에 있다고 하면 되겠다. 여기서도 대수기준을 설정하는 순간 x에 모든 값이 무한정 들어 갈수 있는 것이 아니라 음수에 해당하는 값은 제외해야 하겠다. 음수의 고도가 자연스럽게 우리가 알고자 하는 집합에 포함 되지 않게 된다. 음수의 고도가 있을 수가 있을까. x값의 범위, 집합은 ‘0보다 크거나 같을 것이다(X ≥0). 산에 올라가지 않은 현실까지 포함해야 하니 말이다. 

이제 글을 마쳐야겠어. 문제를 한 문제 내 줄게. 우체국에 택배를 부치러 갔는데 택배 보낼 물건의 무게에 따라 택배비용이 결정되는데 1g당 비용이 지불 되는 것이 아니라 실제 우체국에 가서 무게에 따른 요금을 보면 2kg 까지 4000원 5kg까지 5000원 10kg까지 6000원 20kg까지 7000원 이렇게 되어 있어.(타 지역에 택배 보낼 경우). 위에 예를 들어 본 수들처럼 x, y 값이 연속적이지 않지. 불연속 적이지. 그래프를 그리면 어떻게 나올까?

재우야 그래프에서의 수 들 사이의 연속과 불연속에 대해서 얘기 했지. 기억을 떠올려봐.